量子虚拟机

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量子计算模拟器（Quantum Computing Simulator）和量子虚拟机（Quantum Virtual Machine）

量子虚拟机通常被认为比量子计算模拟器更高级，主要体现在以下几个方面：

1. 模拟的层次与范围

• 量子计算模拟器：
  • 量子计算模拟器通常专注于模拟量子计算机的具体行为，例如量子比特的状态、量子门操作和量子算法执行等。它通常模拟的是量子计算过程的核心部分，即量子电路的运行。
  • 由于其主要模拟量子比特的操作和量子算法，它的应用范围更多集中于小规模的量子系统，因为随着量子比特数量的增加，计算复杂度也会快速增长。
• 量子虚拟机：
  • 量子虚拟机提供了一个更为完整和高级的虚拟量子计算环境，不仅模拟量子比特的操作，还模拟整个量子计算机的硬件和资源管理。例如，它可以管理量子比特的分配、量子门的执行，以及量子计算中的资源调度等。
  • 量子虚拟机允许开发者运行和调试量子程序，并在一个类似于实际量子计算机的环境中进行开发。它支持模拟更复杂的量子计算系统，且通常包括对量子硬件特性（如量子误差、退相干等）的模拟。

2. 功能与资源管理

• 量子计算模拟器：
  • 量子计算模拟器通常侧重于单一功能——模拟量子计算的操作和算法。它是为开发、测试和验证量子算法而设计的工具，主要通过数值计算来实现量子计算过程的模拟。
  • 模拟器通常不涉及量子计算机硬件资源的管理和调度，也不完全模拟量子计算机的工作环境。
• 量子虚拟机：
  • 量子虚拟机提供了一个完整的虚拟量子计算平台，不仅模拟量子计算的算法，还模拟量子计算机的硬件资源、管理和调度。例如，它可以处理量子比特之间的交互、量子门的应用、量子算法的执行等多个层面。
  • 量子虚拟机能够支持量子硬件抽象层，使得用户在开发量子程序时无需直接关注硬件细节，能够在虚拟环境中模拟量子计算机的所有操作和行为。

3. 适用性与扩展性

• 量子计算模拟器：
  • 通常用于量子算法验证和研究，尤其适用于在没有量子硬件的情况下进行测试。
  • 适合用于小规模的量子系统，因为经典计算机的计算能力有限，无法有效模拟大量量子比特的行为。
• 量子虚拟机：
  • 量子虚拟机更适合用于量子程序开发和调试，特别是当开发者需要一个更完整的虚拟量子计算机环境来运行和优化程序时。
  • 它通常具有更好的扩展性，可以支持较大规模的量子计算系统，且不受经典计算机的计算能力的限制。

4. 模拟的细致程度

• 量子计算模拟器：
  • 模拟器通常关注量子算法的执行，提供的是一个较为简化的模型，专注于模拟量子比特之间的量子门操作及量子计算流程。
• 量子虚拟机：
  • 虚拟机则提供了更细致的模拟，不仅模拟量子操作，还能模拟整个量子计算机的运行环境，包括量子计算机的硬件特性、资源分配、调度策略、量子误差等。它是一个接近实际量子计算机的虚拟化工具，允许开发者运行、调试、优化和执行量子算法。

5. 开发和应用场景

• 量子计算模拟器：
  • 主要用于量子计算算法的测试和验证，适合在实验室环境中或教育平台中使用。它为量子研究人员提供了一个低成本的工具来验证和调试量子算法。
• 量子虚拟机：
  • 除了用于量子算法的开发，还可用于量子程序的调试、性能优化和与硬件接口的对接。它允许开发者进行更复杂的模拟，尤其在没有实际量子硬件的情况下，能够提供更为丰富的开发体验。

总结：

• 量子虚拟机通常被认为是比量子计算模拟器更高级的工具，因为它提供了一个完整的虚拟量子计算环境，不仅模拟量子计算的核心过程，还涉及资源管理、硬件抽象、程序调试等多个层面。
• 量子计算模拟器专注于量子算法的测试与验证，适用于较小规模的量子系统，而量子虚拟机则能够模拟更复杂的量子计算系统和硬件特性，支持量子程序的开发和调试。

因此，量子虚拟机更适合用于量子算法的开发、测试和调试，而量子计算模拟器则更多用于算法验证和基础研究。

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CPU、GPU 和 QPU 的全称及解释：

1. CPU：Central Processing Unit（中央处理单元）

• 全称：Central Processing Unit
• 中文名称：中央处理单元
• 功能：
  • CPU 是经典计算机的核心组件，负责执行计算机程序的指令。
  • 处理通用计算任务，包括算术、逻辑运算和数据处理。
  • 具有较强的单线程性能，适合复杂的逻辑控制和串行任务。
• 常见制造商：Intel、AMD、ARM。

2. GPU：Graphics Processing Unit（图形处理单元）

• 全称：Graphics Processing Unit
• 中文名称：图形处理单元
• 功能：
  • 最初设计用于图形渲染，尤其适合并行处理大量像素和顶点数据。
  • 由于其强大的并行计算能力，被广泛用于通用计算（GPGPU），如深度学习、科学计算和大规模数据处理。
  • 适合需要大量并行计算的任务。
• 常见制造商：NVIDIA、AMD。

3. QPU：Quantum Processing Unit（量子处理单元）

• 全称：Quantum Processing Unit
• 中文名称：量子处理单元
• 功能：
  • QPU 是量子计算机的核心组件，用于执行量子计算任务。
  • 利用量子比特（Qubits）进行计算，支持量子叠加、量子纠缠和量子干涉等量子特性。
  • 适合解决某些特定问题，如大数分解、数据库搜索和复杂优化问题。
• 常见制造商：IBM、Google、Rigetti、D-Wave。

总结对比表

组件	全称	中文名称	功能特点
CPU	Central Processing Unit	中央处理单元	处理通用计算任务，适合串行和逻辑控制任务
GPU	Graphics Processing Unit	图形处理单元	适合并行计算和图形渲染，加速大规模数据处理
QPU	Quantum Processing Unit	量子处理单元	执行量子计算，适合特定的复杂计算问题

每种处理单元在计算架构中扮演着不同的角色，互补使用可以提高计算效率，满足不同类型的计算需求。

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OpenCL（Open Computing Language）是一个开放标准的并行计算框架，用于在异构计算设备（如 CPU、GPU 和其他加速器）上进行通用计算。

OpenCL 用于实现跨平台的量子计算模拟器： 由于 OpenCL 的跨平台特性，基于 OpenCL 的量子计算模拟器可以在多种硬件上运行，从而降低对特定厂商（如 NVIDIA CUDA）的依赖。

基于 OpenCL 的跨平台量子计算模拟器虽然不像基于 CUDA 的模拟器那样多，但仍有一些工具和框架利用 OpenCL 的跨平台特性，提供在不同硬件（如 AMD GPU、Intel GPU、CPU 等）上的量子计算模拟能力。以下是一些典型的 OpenCL 实现的量子计算模拟器或相关项目：

1. Quantum++

简介：

• Quantum++ 是一个基于 C++ 的现代量子计算库，专注于高效的量子计算模拟。
• 它本身没有绑定 OpenCL，但可以结合 OpenCL 后端使用，通过用户自定义加速量子态的演化和量子门的作用。

特点：

• 跨平台支持：在 OpenCL 支持的硬件（如 Intel GPU、AMD GPU 和 CPU）上运行。
• 轻量化设计：库本身易于扩展，适合研究和教育用途。
• 开源：可在 GitHub 上找到源码并进行二次开发。

应用场景：

• 小规模量子电路模拟（适合 10-20 量子比特）。
• 教学和算法验证。

2. Quantum Espresso（通过 OpenCL 加速）

简介：

• Quantum Espresso 是一个广泛应用于量子化学和材料科学模拟的开源软件，专注于解决密度泛函理论（DFT）和其他量子物理问题。
• 它可以通过 OpenCL 加速经典部分计算，为量子模拟提供高效的计算后端。

特点：

• 跨平台支持：通过 OpenCL，支持多种硬件平台（CPU、GPU）。
• 科学计算：适用于材料科学中的量子力学模拟，而不是量子电路的模拟。

应用场景：

• 模拟分子、材料的量子行为（如电子结构）。
• 研究密度泛函理论在量子物理中的应用。

3. QuEST（Quantum Exact Simulation Toolkit）

简介：

• QuEST 是一个高性能量子计算模拟器，支持分布式计算和多线程。
• 提供了对 OpenCL 的支持，可以利用 AMD GPU 或 Intel GPU 加速模拟。

特点：

• 高性能：在多核 CPU 和 GPU 上优化了量子态向量的操作。
• 跨平台：通过 OpenCL 在 AMD 和 Intel 硬件上运行，与 CUDA 不同，它不依赖于 NVIDIA 的生态系统。
• 可扩展性：支持分布式计算，能够模拟更大规模的量子系统。

应用场景：

• 模拟量子电路运行（如量子算法的测试）。
• 支持中型规模的量子比特模拟（20-30 量子比特）。

4. ProjectQ

简介：

• ProjectQ 是一个高层次的量子计算框架，支持多种后端，包括基于 OpenCL 的经典模拟器。
• 开发者可以使用 Python 编写量子程序，并通过 OpenCL 加速量子电路模拟。

特点：

• 模块化设计：可以轻松切换后端（如 OpenCL、MPI）。
• 语言友好：支持 Python 接口，适合快速开发和原型验证。
• 跨平台支持：结合 OpenCL 后端，可以在 AMD、Intel 平台运行。

应用场景：

• 量子电路的快速原型开发。
• 小规模量子电路和算法测试。

5. Density Matrix Renormalization Group（DMRG）工具

简介：

• DMRG 是一种用于量子多体系统的数值模拟方法，可通过 OpenCL 加速部分矩阵计算。
• 具体工具如 ITensor 可以结合 OpenCL 提供跨平台的张量网络模拟支持。

特点：

• 张量网络方法：适合模拟量子多体系统。
• 跨平台支持：利用 OpenCL 加速矩阵操作。

应用场景：

• 模拟量子多体系统（如自旋链、量子纠缠特性）。
• 材料科学和统计物理研究。

6. 自定义 OpenCL 后端的量子模拟器

简介：

一些开源量子计算模拟器（如 Qiskit Aer 和 Cirq）本身并不原生支持 OpenCL，但可以通过自定义插件或后端，结合 OpenCL 实现跨平台模拟。

实现方法：

• 修改模拟器的核心矩阵运算部分（如线性代数计算）。
• 将矩阵操作映射到 OpenCL 的并行计算框架中。

特点：

• 灵活性高：可以在现有框架上集成 OpenCL 支持。
• 性能依赖具体实现：优化程度取决于开发者对 OpenCL 和硬件架构的理解。

总结

基于 OpenCL 的跨平台量子计算模拟器适合那些需要利用 AMD GPU、Intel GPU 或其他支持 OpenCL 硬件的用户。以下是一些推荐：

1. Quantum++：轻量级量子计算库，可与 OpenCL 集成。
2. QuEST：高性能量子计算模拟器，原生支持 OpenCL 后端。
3. ProjectQ：Python 驱动的量子计算框架，可配置 OpenCL 后端。
4. Quantum Espresso：适合量子化学和材料科学模拟。
5. 自定义后端：为现有模拟器（如 Qiskit Aer）添加 OpenCL 支持。

对于小型项目或教育用途，Quantum++ 和 ProjectQ 是较为合适的选择。而需要大规模量子模拟时，QuEST 或自定义 OpenCL 后端的方案可能更具吸引力。

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CUDA（Compute Unified Device Architecture）在量子计算领域的应用主要体现在加速量子计算模拟和支持混合计算等方面。由于当前的量子计算机硬件仍在发展，经典计算机（特别是 GPU）在量子算法的开发、验证和模拟过程中发挥着重要作用。以下是对 CUDA 在量子计算上的应用的详细解析：

一、CUDA 在量子计算中的主要应用场景

1. 量子计算模拟器加速

背景：

• 由于当前量子硬件的量子比特数量和纠错能力有限，大规模量子计算仍然依赖于经典计算机的模拟来开发和验证量子算法。
• 模拟量子计算机的行为需要大量的矩阵和向量操作，这些操作在经典计算机上非常耗时，尤其是随着量子比特数量的增加，计算复杂度呈指数级增长。

CUDA 的作用：

• 并行计算能力：GPU 可以同时执行数千个线程，非常适合加速矩阵乘法、向量运算等并行任务，而这些任务正是量子计算模拟的核心。
• 优化内存访问：CUDA 提供共享内存和寄存器优化，可以有效减少数据传输的延迟，加速量子态的演化模拟。
• 高性能库支持：如 cuBLAS（CUDA Basic Linear Algebra Subprograms）和 cuTensor，这些库为线性代数操作提供了高效实现，可用于加速量子计算中涉及的大规模矩阵和张量计算。

示例应用：

• NVIDIA cuQuantum：一个基于 CUDA 的高性能库，用于加速量子电路模拟。它包含了针对量子态向量和张量网络模拟的优化函数。
• cuStateVec：加速基于状态向量的量子电路模拟。
• cuTensorNet：加速基于张量网络的量子电路模拟，适用于大规模量子比特系统的模拟。

性能优势：

• 使用 GPU 和 CUDA 可以显著提高量子模拟的速度。例如，模拟 30 个量子比特的系统在 CPU 上可能需要数小时，而使用 GPU 可能只需数分钟。

2. 混合量子-经典计算

背景：

• 混合量子-经典计算是一种结合量子计算和经典计算的架构。经典计算部分负责控制、调度、优化，量子计算部分负责执行特定的量子计算任务。
• 在实际应用中，许多问题（如机器学习、优化问题）可以通过量子算法和经典算法协同解决。

CUDA 的作用：

• 数据预处理和后处理：在混合计算中，CUDA 可以加速数据的预处理（如特征提取、归一化）和后处理（如结果验证、统计分析）。
• 参数优化：在变分量子算法（如 VQE：变分量子特征求解器）中，经典优化器（如梯度下降）可以使用 CUDA 加速并行计算，提高优化效率。
• 反馈控制：在量子实验中，GPU 可以快速处理测量结果，并根据反馈控制量子系统的下一步操作。

示例应用：

• 量子神经网络（QNN）：在训练量子神经网络时，经典的反向传播和参数更新可以通过 CUDA 加速。
• 变分量子算法：如 VQE 和 QAOA（量子近似优化算法），其中经典优化部分可以利用 CUDA 加速。

3. 大规模量子态的统计估计

背景：

• 在量子态断言（Quantum State Tomography）和量子态保真度估算中，需要对大量测量结果进行统计分析和计算，这对于经典计算资源提出了挑战。

CUDA 的作用：

• 高效数据并行处理：CUDA 可以加速统计估算过程，例如对大量测量结果并行计算概率分布、重构量子态密度矩阵等。
• Monte Carlo 模拟：用于量子噪声模拟和误差分析的蒙特卡罗方法可以通过 CUDA 加速。

示例应用：

• 噪声模拟与误差分析：在模拟有噪声的量子电路时，CUDA 加速蒙特卡罗抽样，评估不同噪声模型下的量子计算性能。

二、CUDA 在量子计算中的优势

1. 高效并行计算：

• CUDA 提供了高度并行的计算能力，适合量子计算模拟中大量的矩阵和向量操作。

2. 丰富的开发工具和库：

• NVIDIA 提供了丰富的开发工具和库（如 cuBLAS、cuTensor、cuQuantum），帮助开发者高效地实现量子计算相关的任务。

3. 硬件加速：

• 利用 NVIDIA 强大的 GPU 硬件，可以显著提高量子模拟和混合计算的性能。

4. 灵活性和可扩展性：

• CUDA 可以在多种应用场景下使用，从简单的量子电路模拟到复杂的混合量子-经典计算。

三、CUDA 在量子计算中的挑战

1. 存储限制：

• 随着量子比特数的增加，量子态的维度呈指数增长。即使使用高性能 GPU，也可能面临内存不足的问题。

2. 经典与量子架构的差异：

• CUDA 是为经典计算设计的，而量子计算有其独特的计算模型（如叠加、纠缠）。如何高效地在经典硬件上模拟这些量子特性是一个挑战。

3. 模拟的计算复杂度：

• 即使利用 GPU 加速，大规模量子系统（如 50 量子比特以上）的精确模拟依然非常困难。

四、总结

• CUDA 在量子计算中的核心应用是加速量子计算模拟，使得开发者可以在经典计算机上更高效地验证和测试量子算法。
• 混合量子-经典计算中，CUDA 提供了数据处理和优化计算的加速能力。
• NVIDIA cuQuantum 是一个典型的 CUDA 在量子计算中的应用实例，为量子电路模拟提供了高性能支持。

尽管量子计算技术还在发展中，CUDA 已经成为量子算法开发和模拟过程中不可或缺的工具之一，为量子计算研究提供了强大的经典计算支持。

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研究综述

• 1 研究基础

  • 1.1 VeePalms平台和OpenModelica Compute Unit（OMCU）

    OMCU主要完成：与负载均衡服务器通信；将XML编译成Modelica文件；调用OpenModelica Compiler（OMC）将Modelica文件编译成C语言文件；调用C语言编译器将C语言文件编译成可执行的EXE文件；执行并监控EXE文件以完成交互式仿真。

    • 1.1.1 华科Resolver源代码（即OMCU）
    • 1.1.2 VeePalms相关论文
      • 1.1.2.1 《Interactive Simulation of SysML Models using Modelica》（2009）
      • 1.1.2.2 《多领域仿真建模求解器的交互性研究与实现》（华科，2012）
      • 1.1.2.3 《面向多学科虚拟实验的任务管理机制研究》（华科，2012）
      • 1.1.2.4 《面向多学科虚拟实验平台的仿真任务流监控》（华科，2013）

  • 1.2 编译原理

    • 1.2.1 《现代编译原理（C语言描述）》，（美）Andrew。

      （主要关注基本原理和一些工具实现，如下）

      • 1.2.1.1 关于Regular Expression的Scanner Generator，比如Lex
      • 1.2.1.2 关于BNF Grammar的Parser Generator，比如Yacc

    • 1.2.2 关于Modelica语言

      • 1.2.2.1 《Modelica Language Specification Version 3.0》
      • 1.2.2.2 一个应用实例《OpenModelica for Analog IC Design》
      • 1.2.2.3 NETLAB相关实例

    • 1.2.3 关于RML和MetaModelica

      • 1.2.3.1 《A Compiler for Natural Semantics》
      • 1.2.3.2 《Developing Efficient Language Implementations from Structural and Natural Semantics》
      • 1.2.3.3 《Meta-Programming and Language Modeling with MetaModelica 1.0》 （OpenModelicaMetaProgramming.pdf）
      • 1.2.3.4 《Modelica Text Template Language Susan Users Guide》 （OpenModelicaTemplateProgramming.pdf）
      • 1.2.3.5 PELAB相关论文
        • 《A Template-Based Code Generator for the OpenModelica Compiler》
        • 《A Template-Based Java Code Generator for OpenModelica and MetaModelica》
        • 《OMCCp: A MetaModelica Based Parser Generator Applied to Modelica》

    • 1.2.4 MWorks相关论文

      • 1.2.4.1 《多领域统一建模语言分析器研究与实现》（华科，2005）
      • 1.2.4.2 《多领域建模仿真平台中语义分析关键机制研究与实现》（华科，2006）
      • 1.2.4.3 《多领域建模与仿真编译器前端交互若干关键技术研究》（华科，2007）

  • 1.3 并行计算

    • 1.3.1 《OpenCL异构计算》(2012)
    • 1.3.2 与OpenMP、MPI、TBB相关的教程

• 2 研究方向

  • 2.1 并行编译（分布式编译，Distributed Compilation）

    利用多核CPU或异构的计算机网络，并行地完成编译任务。

    参考：distcc

  • 2.2 直接编译

    当前OMCU的编译步骤为XML=>Modelica=>C=>Binary Code。考虑简化编译步骤。

    相关参考：

    • 《Template Based XML and Modelica Unparser in OpenModelica》（2012）
    • 《GCC　Internals》

  • 2.3 增量编译

    通过Modelica Library共享，避免修改场景Modelica文件后，重复加载、编译Modelica Library。

    相关参考：

    • 《Incremental Compilation and Dynamic Loading of Functions in OpenModelica》（2008）
    • 《面向多学科虚拟实验平台的仿真任务流监控》（华科，2013）

  • 2.4 并行仿真

    改进OMC以生成并行版本的EXE文件。

    相关参考：

    • 《Automatic Parallelization of Equation-Based Simulation Programs》（2006）
    • 《ParModelica: Extending the Algorithmic Subset of Modelica with Explicit Parallel Language Constructs》（2011）
    • 《Simulation of Modelica Models on the CUDA Architecture》（2009）
    • 《Tools and Methods for Analysis, Debugging, and Performance Improvement of Equation-Based Models》（2015）

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同阶无穷小因子

• 圆弧长 $ \overline{(\theta) (2r)} $ 与直径 $ \overline{(2r)} $ 的比为 $ \theta $ 。
• 圆弧所对应的弦长 $ \overline{(\sin \theta) (2r)} $ 与直径 $ \overline{(2r)} $ 的比为 $ \sin \theta $ 。
• 圆弧所对应的弦心距 $ \overline{(\cos \theta) (r)} $ 与半径 $ \overline{(r)} $ 的比为 $ \cos \theta $ 。
• 经过圆弧中点的切线段长 $ \overline{(\tan \theta) (2r)} $ 与直径 $ \overline{(2r)} $ 的比为 $ \tan \theta $ 。

$$ \left. \begin{array} {l} 1: \overline{(\sin \theta) (2r)} < \overline{(\theta) (2r)} \implies \sin \theta < \theta \implies \frac{\sin \theta}{\theta} - 1 < 0 \\\\ \left. \begin{array} {l} \left. \begin{array} {l} \left. \begin{array} {l} 2: \overline{(\theta) (2r)} = \overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\delta \theta) (2r)} \implies \frac{\overline{(\theta) (2r)} \times \overline{(r)}}{2} = \frac{[\overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\delta \theta) (2r)}] \times \overline{(r)}}{2} \\ 3: \overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\delta \theta) (2r)} = \overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\sin \delta \theta) (2r)} \implies \frac{[\overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\delta \theta) (2r)}] \times \overline{(r)}}{2} = \frac{[\overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\sin \delta \theta) (2r)}] \times \overline{(r)}}{2} \\ 4: \frac{[\overset{\smallfrown}{\int} \overline{(\sin \delta \theta) (2r)}] \times \overline{(r)}}{2} = \overset{\smallfrown}{\int} \frac{\overline{(\sin \delta \theta) (2r)} \times \overline{(r)}}{2} \end{array} \right\} \implies \ \frac{\overline{(\theta) (2r)} \times \overline{(r)}}{2} = \overset{\smallfrown}{\int} \frac{\overline{(\sin \delta \theta) (2r)} \times \overline{(r)}}{2} \\\\ 5: \overset{\smallfrown}{\int} \frac{\overline{(\sin \delta \theta) (2r)} \times \overline{(r)}}{2} < \frac{\overline{(\tan \theta) (2r)} \times \overline{(r)}}{2} \end{array} \right\} \implies \ \theta < \tan \theta \\\\ \left. \begin{array} {l} \begin{array} {l} 6: \frac{\overline{(\cos \theta) (r)} \times \overline{(\sin \theta) (2r) / 2}}{2} + \frac{\overline{(r)}^2}{2} + \frac{\overline{(\cos \theta) (r)} \times \overline{(\sin \theta) (2r) / 2}}{2} \\ = \frac{[\overline{(\cos \theta) (r)} + \overline{(\sin \theta) (2r) / 2}] \times [\overline{(\cos \theta) (r)} - \overline{(\sin \theta) (2r) / 2}]}{2} + [\overline{(\cos \theta) (r)} + \overline{(\sin \theta) (2r) / 2}] \times \overline{(\sin \theta) (2r) / 2} \\ \implies \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{array} \\\\ 7: \theta < \arcsin \sqrt{(\epsilon)(2 - \epsilon)} \implies \sin \theta < \sqrt{(\epsilon)(2 - \epsilon)} \end{array} \right\} \implies \ 1 - \epsilon < \cos \theta \\\\ 8: \frac{\overline{(\tan \theta) (2r) / 2}}{\overline{(r)}} = \frac{\overline{(\sin \theta) (2r) / 2}}{\overline{(\cos \theta) (r)}} \implies (\tan \theta) (\cos \theta) = \sin \theta \end{array} \right\} \implies \ (\theta) (1 - \epsilon) < \sin \theta \implies \frac{\sin \theta}{\theta} - 1 > - \epsilon \end{array} \right\} \implies \ \left| \frac{\sin \theta}{\theta} - 1 \right| < \epsilon \implies \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 $$

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圆周运动

$$ \frac{\| \delta \vert v \rangle \|}{\| \vert v \rangle \|} = \frac{\| \delta \vert r \rangle \|}{\| \vert r \rangle\|}$$$$ \frac{\| \vert a \rangle \delta t \|}{\| \vert v \rangle \|} = \frac{\| \vert v \rangle \delta t \|}{\| \vert r \rangle\|}$$$$ \frac{\| \vert a \rangle \| \delta t}{\| \vert v \rangle \|} = \frac{\| \vert v \rangle \| \delta t}{\| \vert r \rangle\|}$$$$ \| \vert a \rangle \| = \frac{\| \vert v \rangle \|^2}{\| \vert r \rangle\|}$$

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描述碳原子中电子在库仑势中的运动需要解决多电子系统中的薛定谔方程。这比氢原子复杂得多，因为碳原子有六个电子，电子之间的相互作用不能被忽略。以下是描述过程的详细步骤：

1. 系统的哈密顿算符¶

碳原子的哈密顿算符不仅包含电子在原子核库仑势中的动能和势能，还需要考虑电子之间的相互作用势能。哈密顿算符一般形式为： $$ \hat{H} = \sum_{i=1}^{6} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla_i^2 - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_i} \right) + \sum_{i<j}^{6} \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_{ij}} $$

其中：

• $ Z $ 是碳原子的核电荷数（即6），
• $ r_i $ 是第 $ i $ 个电子到原子核的距离，
• $ r_{ij} $ 是第 $ i $ 个电子和第 $ j $ 个电子之间的距离，
• 第一个求和项代表每个电子的动能和与原子核的库仑相互作用势能，
• 第二个求和项代表电子之间的库仑相互作用势能。

2. 薛定谔方程¶

对于多电子原子，薛定谔方程写成： $$ \hat{H} \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_6) = E \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_6) $$

其中，$\Psi$ 是整个系统的多电子波函数，包含所有电子的空间坐标。

3. 多电子波函数的近似方法¶

由于直接求解上述多电子薛定谔方程非常困难，通常使用近似方法，如哈特里-福克（Hartree-Fock）方法或密度泛函理论（DFT）。

哈特里-福克方法¶

哈特里-福克方法将多电子波函数近似为单电子轨道波函数的反对称乘积（斯莱特行列式），并通过变分法找到使总能量最低的单电子波函数。

1. 单电子轨道波函数： 设单电子波函数为 $\psi_i(\mathbf{r})$，则多电子波函数可以近似为： $$ \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_6) \approx \frac{1}{\sqrt{6!}} \text{det} [\psi_i(\mathbf{r}_j)] $$

2. 哈特里-福克方程： 每个单电子波函数满足哈特里-福克方程，该方程通过考虑平均场近似来包含电子之间的相互作用。

密度泛函理论（DFT）¶

DFT是一种计算效率更高的方法，它使用电子密度而不是波函数来描述系统。

1. 电子密度： $$ \rho(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^{6} |\psi_i(\mathbf{r})|^2 $$

2. 能量泛函： 总能量表示为电子密度的泛函，通过求解Kohn-Sham方程找到使能量泛函最小的电子密度。

4. 单电子近似：自洽场方法¶

在自洽场（Self-consistent field, SCF）方法中，通过迭代求解单电子薛定谔方程来逐步逼近多电子系统的解。

1. 初始猜测： 初始猜测电子波函数或电子密度。

2. 求解单电子方程： 在初始场中求解单电子薛定谔方程，得到新的电子波函数或电子密度。

3. 更新场： 用新的波函数或密度计算新的有效场。

4. 迭代： 迭代上述步骤直到收敛，即波函数或电子密度不再显著变化。

5. 总结¶

虽然直接求解碳原子中所有电子的薛定谔方程非常复杂且不现实，但通过近似方法，如哈特里-福克和密度泛函理论，可以有效地描述电子在库仑势中的运动。这些方法使用单电子轨道的近似和迭代求解技术，在计算上更加可行，并且能够提供较准确的电子结构信息。

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量子蒙特卡罗

Variational Quantum Monte Carlo Method with a Neural-Network Ansatz for Open Quantum Systems

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Evidence for wavelike energy transfer through quantum coherence in photosynthetic systems. Engel, G. S., Calhoun, T. R., Read, E. L., Ahn, T. K., Mančal, T., Cheng, Y. C., ... & Fleming, G. R. (2007). Nature, 446(7137), 782.

D. Hayes, G. B. Griffin and G. S. Engel, “Engineering coherence among excited states in synthetic heterodimer systems,” Science, vol. 340: 6139 (2013), pp. 1431–4.

Dorfman et al., “Photosynthetic reaction center as a quantum heat engine.”

C. Creatore, M. A. Parker, S. Emmott and A. W. Chin, “An efficient biologically-inspired photocell enhanced by quantum coherence,” arXiv preprint, arXiv:1307.5093, 2013.

C. Tan, S. Saurabh, M. P. Bruchez, R. Schwartz and P. Leduc, “Molecular crowding shapes gene expression in synthetic cellular nanosystems,” Nature Nanotechnology, vol. 8: 8 (2013), pp. 602–8; M. S. Cheung, D. Klimov and D. Thirumalai, “Molecular crowding enhances native state stability and refolding rates of globular proteins,” Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 102: 13 (2005), pp. 4753–8.

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第一篇论文：

Title: Quantum entanglement between the electron clouds of nucleic acids in DNA Authors: Rieper, E., Vedral, V. Journal: Quantum Information Processing (2012) Rieper, E.: Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore, Singapore Vedral, V.: Department of Physics, University of Oxford, Oxford, UK

第二篇论文：

Title: Quantum coherence in microtubules: A neural basis for emergent consciousness? Authors: Hameroff, S.R., Penrose, R. Journal: Journal of Cosmology (2011) Hameroff, S.R.: Center for Consciousness Studies, Department of Anesthesiology and Psychology, University of Arizona, Tucson, AZ, USA Penrose, R.: Mathematical Institute, University of Oxford, Oxford, UK

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Jennifer C. Brookes, Filio Hartoutsiou, A. P. Horsfield, and A. M. Stoneham. Could Humans Recognize Odor by Phonon Assisted Tunneling? Phys. Rev. Lett. 98, 038101 – Published 16 January 2007

Brookes, J.C.; Horsfield, A.P.; Stoneham, A.M. The Swipe Card Model of Odorant Recognition. Sensors 2012, 12, 15709 - 15749. https://doi.org/10.3390/s121115709

弹性（$\tau_{T0}$）和非弹性（$\tau_{T1}$）从D到A的电子转移（ET）时间对于Turin的机制的成功或失败至关重要。我们将D和A视为具有能量$\varepsilon_D$和$\varepsilon_A$的单个分子轨道，它们通过一个弱跃迁积分$t$相互耦合，但不与其他电子态耦合。由于D和A之间的跃迁在电子时间尺度上是缓慢的，其余电子耦合必须非常弱以防止电子泄漏。然而，D和A将与气味分子、受体蛋白和更广泛环境中的振荡子耦合。D到A的ET速率可以从标准理论中计算出来，但需要显式处理气味分子的振荡子。我们考虑一个频率为$\omega_o$的气味分子振荡子，它与D（A）以强度$\gamma_D$（$\gamma_A$）耦合。环境被视为具有频率$\omega_q$和耦合强度$\gamma_{qD}$和$\gamma_{qA}$的多个振荡子。完整系统由哈密顿量$H = \hat{H}_D + \hat{H}_A + \hat{v}$描述，其中 $$ \hat{H}_X = |X\rangle \langle X| (\varepsilon_X + \hat{H}_{osc} + \hat{H}_{e-osc,X}) \quad (X为D或A) $$ $$ \hat{v} = t (|D\rangle \langle A| + |A\rangle \langle D|) $$ 并且$|D\rangle$ ($|A\rangle$)是D（A）上的电子态。 $$ \hat{H}_{osc} = (\hat{a}^\dagger \hat{a} + 1) \hbar \omega_o + \sum_q (\hat{a}_q^\dagger \hat{a}_q + \frac{1}{2}) \hbar \omega_q $$ 是气味分子和环境的振荡子哈密顿量， $$ \hat{H}_{e-osc,X} = \gamma_X (\hat{a} + \hat{a}^\dagger) + \sum_q \gamma_{qX} (\hat{a}_q + \hat{a}_q^\dagger) $$ 耦合电子与振荡子。哈密顿量$\hat{H}_{osc}$的本征态为$|nN\rangle$，其中$n$是气味分子振荡子的占据数，$N$对应一组环境振荡子的占据数$\{n_q\}$。哈密顿量$\hat{H}_X$的本征态为 $$ |\Psi_{XnN}\rangle = \exp(u_X (\hat{a} - \hat{a}^\dagger) + \sum_q u_{qX} (\hat{a}_q - \hat{a}_q^\dagger)) |X nN\rangle $$ 具有本征值 $$ E_{XnN} = \varepsilon_X + (n + 1 - u_X^2) \hbar \omega_o + \sum_q (n_q + 1 - u_{qX}^2) \hbar \omega_q $$ 状态$|XnN\rangle$是未扰动的电子和振荡子基态的乘积， $$ u_X = \gamma_X / \hbar \omega_o $$ $$ u_{qX} = \gamma_{qX} / \hbar \omega_q $$ 时间$\tau_{T0}$和$\tau_{T1}$根据系统中电子在D和气味分子振荡子处于基态时到达A和气味分子振荡子处于激发态的耦合，可以通过标准的金色规则结果求得： $$ \frac{1}{\tau_{Tn}} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{N,N'} P_N |\langle \Psi_{D0N} | \hat{v} | \Psi_{AnN'} \rangle|^2 $$ 其中$P_N$是系统以状态$|ΨD0N⟩$开始的概率。在对电子耦合到声子浴的标准近似和将背景波动视为低频之后，我们得到马库斯型表达式： $$ \frac{1}{\tau_{Tn}} = \frac{2\pi}{\hbar} t^2 \frac{\sigma_n}{\sqrt{4\pi k_B T \lambda}} \exp \left( -\frac{(\epsilon_n - \lambda)^2}{4k_B T \lambda} \right) $$ 其中 $$ \sigma_n = \exp(-S) \frac{S^n}{n!}, $$ $$ S = (u_D - u_A)^2 $$（这是一个Huang-Rhys因子）， $$ \epsilon_n = \varepsilon_D - \varepsilon_A - n \hbar \omega_o, $$ $$ \beta = \frac{1}{k_B T}, $$ $$ \lambda = \sum_q S_q \hbar \omega_q $$（重组能量）， $$ S_q = (u_{qD} - u_{qA})^2. $$

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马库斯理论中的电子转移速率公式为：

$$ k_{ET} = \frac{V^2}{h} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda k_B T}} \exp\left( -\frac{(\lambda + \Delta G)^2}{4 \lambda k_B T} \right) $$

其中：

• $ k_{ET} $ 是电子转移速率。
• $ V $ 是电子耦合（电子隧穿）能量。
• $ h $ 是普朗克常数。
• $ \lambda $ 是重组能。
• $ k_B $ 是玻尔兹曼常数。
• $ T $ 是绝对温度。
• $ \Delta G $ 是吉布斯自由能变化。